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第1章 复数 1

1.1 复数及其表示法 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的表示法 1

1.2 复数的运算及几何意义 6

1.2.1 复数的加法和减法 6

1.2.2 复数的乘法和除法 7

1.2.3 复数的方根 9

1.2.4 共轭复数及其运算性质 10

1.2.5 曲线的复数方程 16

1.3 平面点集和区域 17

1.3.1 点集概念 17

1.3.2 区域 18

1.3.3 简单曲线 19

1.3.4 单连通区域与多连通区域 20

1.4 复球面与无穷远点 23

1.4.1 复球面 23

1.4.2 扩充复平面上的几个概念 25

小结 25

习题一 27

第2章 解析函数 30

2.1 复变函数 30

2.1.1 复变函数的概念 30

2.1.2 复变函数的极限和连续性 36

2.2 解析函数的概念 41

2.2.1 复变函数的导数 41

2.2.2 解析函数的概念 44

2.3 函数解析的充要条件 45

2.4 解析函数与调和函数的关系 51

2.5 初等函数 56

2.5.1 指数函数 57

2.5.2 对数函数 58

2.5.3 幂函数 60

2.5.4 三角函数 61

2.5.5 反三角函数与反双曲函数 64

小结 66

习题二 67

第3章 复变函数的积分 70

3.1 复变函数的积分 70

3.1.1 复变函数积分的概念 70

3.1.2 积分的存在性及其计算公式 71

3.1.3 积分的基本性质 76

3.2 柯西（Cauchy）定理 77

3.2.1 柯西定理的表述与推论 78

3.2.2 原函数与不定积分 79

3.2.3 柯西定理的推广 81

3.3 柯西积分公式 84

3.4 解析函数的高阶导数 87

3.4.1 解析函数的重要性质 87

3.4.2 柯西不等式 92

3.4.3 解析函数的等价概念 92

小结 93

习题三 95

第4章 级数 99

4.1 复数项级数与复函数项级数 99

4.1.1 数列的极限 99

4.1.2 复数项级数 100

4.1.3 复函数项级数 104

4.2 幂级数 105

4.2.1 幂级数的概念 105

4.2.2 收敛圆与收敛半径 106

4.2.3 幂级数的运算和性质 109

4.3 泰勒（Taylor）级数 111

4.3.1 解析函数的泰勒展开式 112

4.3.2 初等函数的泰勒展开式 115

4.4 罗朗（Laurent）级数 118

4.5 孤立奇点 127

4.5.1 可去奇点 127

4.5.2 极点 128

4.5.3 本性奇点 131

4.5.4 函数在无穷远点的性态 132

小结 135

习题四 138

第5章 留数 143

5.1 留数的概念与计算 143

5.1.1 留数的概念及留数定理 143

5.1.2 留数的计算 145

5.1.3 在无穷远点的留数 150

5.2 留数在定积分计算中的应用 155

5.2.1 计算？2π 0 R（cos x，sin x）dx型积分 156

5.2.2 计算？＋∞ －∞ P（X）/Q（X）dx型积分 158

5.2.3 计算？＋∞ －∞ f（x）eiλx dx型积分 161

5.3 对数留数与辐角原理 166

5.3.1 对数留数 167

5.3.2 辐角原理 168

5.3.3 儒歇（Rouche）定理 170

小结 173

习题五 175

第6章 保角映射 178

6.1 保角映射的概念 178

6.1.1 导数的几何意义 178

6.1.2 保角映射的概念 181

6.2 分式线性映射 183

6.2.1 分式线性映射 183

6.2.2 分式线性映射的性质 185

6.2.3 3类典型的分式线性映射 188

6.3 几个初等函数所构成的映射 194

6.3.1 幂函数与根式函数 194

6.3.2 指数函数与对数函数 198

6.3.3 儒可夫斯基（Жуковский）函数 202

小结 206

习题六 207

习题答案 211

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